Una teoría generalizada de señales y sistemas

Resumen

La Teoría de Señales y Sistemas Teoría (SST) desempeña un papel fundamental en la formación académica y profesional en diferentes áreas de la ingeniería eléctrica (procesado de la señal, electromagnetismo, acústica, mecánica cuántica, etc.), así como en muchas otras áreas científicas. Muchos autores presentan esta teoría siguiendo un esquema que es válido para el análisis práctico de muchos sistemas siguiendo el esquema habitual de la SST. Esta forma de presentar dicha teoría suele evitar tener que tratar con conceptos más generales que son fundamentales en las explicaciones asociadas con la resolución de un gran número de problemas físicos. Estas limitaciones suelen estar relacionadas con la interpretación matemática y física de muchos conceptos importantes inherentes a la SST, por ejemplo, (i) la definición de funciones generalizadas, como la delta de Dirac o sus derivadas, sin considerar el rigor matemático de la teoría de distribuciones, (ii) el análisis de sistemas lineales invariantes en los dominios tiempo-frecuencia mediante la realización del análisis espectral bajo la transformada de Fourier solamente, (iii) el análisis de problemas en  variable continua y discreta por separado, (iv) el hecho de no considerar el análisis de sistemas lineales no invariantes de una manera rigurosa, etc. Estas simplificaciones dejan de lado muchos problemas importantes que deberían ser analizados bajo la SST. Esto es particularmente importante si el análisis se centra en los problemas físicos (generalmente definidos por ecuaciones diferenciales más ciertas condiciones de contorno) bajo la SST, por ejemplo: (i) los problemas en el dominio espacial, que a menudo son lineales no invariantes, (ii) el análisis en el dominio del tiempo de los sistemas lineales no invariantes (modulador de amplitud, por ejemplo), (iii) el análisis espectral bajo otras transformadas, en relación con las representaciones habituales utilizando diferentes funciones de onda como funciones de base (ondas cilíndricas, ondas esféricas, haces  gaussianos, haces complejos, wavelets, etc.), (iv) el análisis de la teoría de funciones de Green como un caso particular de la SST, (v) la consideración de la teoría de las distribuciones junto con las funciones ordinarias a través de la teoría de los espacios de Hilbert equipados (RHS), (vi) la extensión de la SST a las funciones de variable compleja con el fin de entender la continuación de coordenadas reales a coordenadas complejas, o (vii) la generalización del análisis de los operadores no lineales, así como muchos otros tipos de problemas. El objetivo final del trabajo presentado en este artículo es desarrollar una teoría general que puede incluir todos estos casos de una manera rigurosa. Esto conduce a una Teoría Generalizada de Señales y Sistemas (GSST) que se ha construido teniendo en cuenta que cualquier problema físico pueda analizarse particularizando los conceptos generales de esta teoría con los parámetros concretos del problema en cuestión. Este esquema se revisa continuamente y se actualiza con nuevos resultados. En este artículo se presentará una versión actualizada de este esquema, versión que es usada hoy en día para la presentación de la SST tanto para estudiantes de grado (en una versión simplificada) como para estudiantes de postgrado. El esquema de la GSST está construido considerando inicialmente espacios vectoriales de señales de dimensión finita e infinita junto con la teoría de los operadores y de la teoría de distribuciones, considerando variables generales que pueden representar cualquier magnitud física (tiempo, espacio, etc.) Con estas consideraciones iniciales en mente, se introducirán varios conceptos generalizados importantes, tales como la Combinación Lineal Generalizada (LC), la Transformada Generalizada (GT), los Cambios Generalizados de Transformadas (GTC) y el Análisis Espectral Generalizado (GSA) de sistemas lineales (invariantes y no invariantes).